Родился в селе Архангельском Соликамского уезда Пермской губернии в семье крестьянина. Через несколько лет семья перебралась в г. Чердынь, где отец стал работать на заводе.
Константин рос талантливым ребенком, прилежно и старательно учился в школе. Способности мальчика вскоре были замечены управляющим заводом, на попечении которого находилась школа и по протекции которого Бабыкин был отправлен для дальнейшего обучения в Пермь.
Закончил Пермское реальное училище, и затем поступил в Киевский политехнический институт на строительный факультет, где занимался под руководством архитектора В. В. Городецкого. Перед окончанием был выслан как неблагонадёжный в Пермь, где 1 апреля 1906 года поступил в управление Пермской железной дороги на должность архитектора. Написал дипломный проект, вернулся в Киев и защитил его, став выпускником по специальности «Гражданская и промышленная архитектура».
В 1910—1912 годах по его проекту был построен гимнастический зал для Екатеринбургской мужской гимназии. В то же время спроектировал второе здание вокзала в Екатеринбурге, рядом с уже существовавшим с 1878 года старым вокзалом.
В 1910-е гг. принимает участие в сооружении Нового городского театра. Вместе с инженером Т. И. Ремельтом выполнил все расчёты и осуществил рабочее проектирование. Он же вёл и производство работ на площадке, а также авторский надзор за строительством. На этой стройке, по настоянию Бабыкина, впервые на Урале применялось бетонирование крупных конструкций. Железобетонные своды вместо кирпичных не только обусловили необычную форму зрительного зала, но и его великолепную акустику.
Одновременно с этим начал преподавательскую работу в 1914 году, организовав строительные курсы, преобразованные позже в Уральский политехникум, где работал до 1921 года.
В 1919 году, при отступлении армии Колчака в Сибирь, в числе других инженерно-технических работников и интеллигенции Бабыкина вывезли из города. Работал архитектором технического отдела управления Забайкальской железной дороги в Иркутске, в Омске — начальником отдела гражданских сооружений Сибирского округа путей сообщения.
В мае 1921 года вернулся в Екатеринбург, работает заместителем начальника службы пути и начальником проектной группы Пермской железной дороги. В мае 1923 года переведён на должность начальника проектно-технического отдела управления дороги: проектирует депо, мастерские и рабочие клубы для Перми, Тагила, Тюмени, Верещагина, Чусовской.
В конце 1920-х был назначен заместителем главного инженера и руководителем проектного бюро организации «Уралвтузстрой», которая была специально создана для возведения комплекса зданий Уральского политехнического института.
С 1931 года работает в УПИ — доцент кафедры стройматериалов и частей зданий. В 1933 году возглавил кафедру архитектуры строительного факультета, на которой в 1938 году стал профессором.
После окончания Великой Отечественной войны по настоянию Бабыкина открывается первая группа архитектуры, в которую были зачислены 39 студентов.
Заложенные им основы высшего архитектурного образования позволили его ученику Н. С. Алферову создать на базе кафедры архитектуры филиал Московского архитектурного института, а затем преобразовать его во второй в России — Свердловский архитектурный институт (1972).
1 сентября 1957 года вышел на пенсию. Скончался 14 ноября 1960 года в Свердловске. Похоронен на Ивановском кладбище Екатеринбурга.
По проекту К.Т. Бабыкина или с его участием в Екатеринбурге построены:
- Гимнастический зал мужской гимназии (ныне спортзал девятой гимназии)
- Второе здание железнодорожного вокзала
- Здание Делового клуба (ныне Свердловская государственная академическая филармония)
- Здание мануфактурного магазина купца Бардыгина (ныне одно из зданий Екатеринбургского музея изобразительных искусств) ул. Вайнера, 11,
- Здание Театра оперы и балета
- Здание Екатеринбургского Пассажа (ныне заменено торговым центром)
- Здание Коммерческого собрания
- Дворец культуры железнодорожников
- Здание Управления Свердловской железной дороги
- Здание УНИХИМа, перекрёсток 8 марта и пер. Химиков
- Здание химфака Лесотехнического института Ленина, 79
- Комплекс зданий Уральского политехнического института (в том числе оформление главного корпуса УПИ